Я б мозаикой сплела.

И я думаю мозаикой! Схемку от жгута развернутую перевести на мозаичное полотно. А крепление бы сделала из кожи… как зашивают концы станочных браслетов

а я бы жгут связала сплющила и натянула сверху на кожаный ремешок, и закрепила на концах…
и с креплением ничего выдумывать не надо)

или кожаную петельку под штифт(который у часов) в жгут вшила…

мне кажется таким полотном businka.org/oktabeads/2016/05/19/toho-demi-round---novinka-ot-toho.html#comment393854 мозайкой. сам ремешок жгутом плоским, а у основания часов петлю из полотна мозайкой выплести и соединить с жгутом.

А я бы, признаться, для часов такой формы сплела браслет типа «джинсовый». А для комплекта к жгутика лучше другие часы взять, небольшие круглые или овальные. Хотя с клиентом, понятно, не поспоришь.

Что бы понять как крепить, надо сначала снять ремешок и посмотреть что имеем. А там, в зависимости от того какое расстояние от штырька до корпуса часов и от его толщины, решать каким образом крепить — пришить мононитью или штырёк пройдёт в бисеринки крайнего ряда сплетённого ремешка (можно пришить более крупные бисерины по краю и вставить в него штырёк, а его уже в корпус).
Ремешок, мне кажется, как девочки сказали — мозаикой, с таким же рисунком, как на жгуте. Вязаный жгут, даже сплющенный будет громоздким.

А на соединительных колечках(двойных), некрасиво будет?

1. Бывают ремешки тканевые. Сделать (связать, сплести) 2 плоские «муфточки» из бисера на ремешок. Собрать: на ремешок муфточка, часы, муфточка. Для красоты сторону муфточки «к часам» сделать с «кружевом».
2. Тканевые из 2-х половинок не видала. Их бы вышить, снизу кожей прикрыть.
Главное — чтобы часики надежно крепились.
У самой пара заготовок часов 3-й год браслета ждет

Может на что-то натолкнет

У меня была подобная проблема, вот такие часики получились: businka.org/Миледи789/2015/09/15/chasy-v-podarok.html
Хозяйка их с удовольствием носит.

А знаете как раньше сплошные ремешки были?
chasi-swatch.ru/news/remeshok_dlja_chasov_iz_kozhi_svoimi_rukami/2014-02-12-76.html
вот так же под часики если кожу, а дальше к ней — почти все что угодно. На ее краешки бисеринки и от них хоть мозайку, хоть плетение и т.п.

Еще как вариант… Как у Елены k-helen2009 вот эта заколка. Сплести ткачеством и пришить на тонкую кожу ей же и закрепить.

Может, пригодится.

Вариантов много, один минус: сняла жгут — и ремешок менять придется.

Мое видение ситуации.
Ремешок просится мозаичный. Бисерное полотно, скорее всего, в щель для ремешка не пройдет. Я бы прикрепила ремешок к часам с помощью протекторов для ювелирного тросика. У меня этот тип фурнитуры просто палочка-выручалочка)))